Sechseckszahlen

(hexagonal numbers)

Definition	Eine Zahl kÎ IN heißt Sechseckszahl, wenn sie durch ein regelmäßiges Sechseck von Punkten dargestellt werden kann. Die Sechseckszahlen sind 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 276, ...
Graph	Die Sechseckszahlen haben folgende Darstellung im Koordinatensystem:
Bemerkung	Der oberen Grafik ist zu entnehmen, dass die Sechseckszahlen Tn allgemein folgendermaßen aussehen: Also ist H3=1+5+9=15.
Satz 1	Hn=n(2n-1) Beweis: Hn=1+5+9+...+(4n-3) Hn=(4n-3)+...+9+5+1 -------------------------- 2Hn=n(4n-2)=2n(2n-1) Hn=n(2n-1)
Beispiel 1	H5=5(10-1)=45
Satz 2	Jede Sechseckszahl ist auch eine Dreieckszahl. Beweis: Für Dreieckszahlen gilt Hn=n(2n-1)
Beispiel 2	Die Dreieckszahlen sind 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Die Sechseckszahlen sind 1, 6, 15, 28, 45, ... Also ist jede zweite Dreieckszahl auch eine Sechseckszahl.
Folgerung	Da jede Dreieckszahl der Summe der ersten k natürlichen Zahlen entspricht, gilt dies auch für die Sechseckszahlen: " nÎ IN$ kÎ IN:
Beispiel 3	28=1+2+3+4+5+6+7
Geschichte	1830 zeigte Legendre, dass jede natürliche Zahl größer 1791 als Summe vierer Sechseckszahlen dargestellt werden kann. 1990 zeigten Duke und Schulze-Pillot, dass jede genügend große Zahl als Summe dreier Sechseckszahlen dargestellt werden kann.
Beispiel 4	11=1+1+1+1+6+6 26=1+1+6+6+6+6 man kann diese 2 Zahlen nicht mit weniger als 6 Sechseckszahlen darstellen,aber 1792=1+6+15+1770=H1+H2+H3+H30 und 1792=28+45+66+1653=H4+H5+H6+H29, also ist die Darstellung mit der Summe von 4 Sechseckszahlen nicht eindeutig. Natürlich gibt es auch Zahlen kleiner als 1792, die man durch die Summe vierer Sechseckszahlen darstellen kann: 253=6+28+66+153=H2+H4+H6+H9.