Primzahlzwillinge

(twin primes)

Definition	2 Zahlen heißen Primzahlzwillinge genau dann wenn ihre Differenz 2 beträgt und jede von ihnen Primzahl ist. Der erste Primzahlzwilling ist also p und der zweite Primzahlzwilling ist p+2.
Beispiele	(3, 5), (5,7), (11,13) sind die ersten Primzahlzwillinge
Vermutung	Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
Satz 1	Sei (p, p+2) ein Primzahlzwilling mit p>3, dann folgt 6|(p+1). (Die Umkehrung gilt nicht, siehe 6|24 aber 23 ist Primzahl und 25 ist keine Primzahl) Beweis Es ist zu zeigen, dass p+1 ohne Rest durch 6 geteilt werden kann. Dazu stellt man folgende Tabelle der natürlichen Zahlen auf: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... ... ... ... ... ... Die zweite, vierte und sechste Spalte enthält nur Zahlen, die durch 2 teilbar sind. Die dritte Spalte enthält nur Zeilen die durch 3 teilbar sind. Also müssen alle Primzahlen größer 3 in der ersten und fünften Spalte sein. Primzahlzwillinge können nur von der fünften zur ersten Spalte auftauchen, da nur dann die Differenz zwischen den Zahlen 2 ist, denn von der ersten zur fünften Spalte ist die Differenz 4. Zwischen der fünften und der ersten Spalte liegt aber die sechste Spalte deren Zahlen alle durch 6 teilbar sind.
Folgerung	Bei jedem Primzahlzwilling (p, p+2) gilt (p mod 6 =5) und ((p+2) mod 6 =1).
Satz 2	Die Folge der Summe der Reziprokwerte der Primzahlzwillinge konvergiert. Also: . Beweis: Brun bewies den Satz 1919. b heißt heute Bruns Konstante und Thomas Nicely berechnete b zu b=1,902160578....
Satz 3	(Clement 1949) Die Zahlen p und p+2 sind ein Primzahlzwilling genau dann wenn 4[(p-1)!+1] º -p (mod p(p+2))
Beispiel	4[(p-1)!+1] º -p (mod p(p+2)) (5, 7) mit p=5, also 4[4!+1] º -5 (mod 5(5+2)) 4[25] º -5 (mod 35) 100 º -5 (mod 35) denn 100 : 35 = 2 Rest 30 = 3 Rest -5